De forma totalmente natural, desde pequeños, nos enseñan a contar las cosas con los dedos, usando números (símbolos) del 0 al 9. Este sistema de numeración es el denominado decimal. Repasemos un poco como funciona.
El primer número es el 0, el siguiente el 1... , así hasta el 9. Cuando hemos terminado con las unidades...
...Pasamos a las decenas. Ponemos un "1" en las decenas y hacemos correr todos los números de las unidades. Cuando llegamos otra vez al "9", ponemos el "2" en las decenas, y volvemos a contar unidades... Así hasta llegar al 99.
En este punto, somos capaces de representar desde el 0 al 99. Dos lugares "unidades" y "decenas", 100 números. Por cierto, que 100 = 102
Sigo... un tercer lugar, las "centenas". Podré representar el 0 al 999. Son mil números, que por cierto 1000 = 103
Así puedo representar cualquier cantidad numérica, simplemente añadiendo lugares y un dígito del 0 al 9 en cada lugar...
¿Pero cómo puedo expresar mejor esta forma de representar números? Bien, en general, cualquier número decimal se puede representar como un polinomio. Sea N un número natural, por ejemplo, 356. El sistema es el decimal, se dice de base 10 (b=10) y el lugar de las unidades corresponde al primer lugar (cuento 0), las decenas el segundo (cuento 1), las centenas el tercero (2), etc.
En el primer ejemplo, cualquier número en decimal, es capaz de representarse como expresión polinómica en base diez, siendo cada dígito un factor que multiplica a la potencia correspondiente. Incluso con potencias de exponente negativo, se pueden representar todos los números decimales.
Sistema de numeración binaria
Hay otras formas de contar. Imaginemos que sólo tenemos dos números, el 0 y el 1. ¿Qué pasaría?
El primer número es el 0.
El segundo número es el 1.
No tengo cómo representar el siguiente número, tengo que usar "otro lugar". Bien, en el lugar de las "decenas" pongo ahora el "1" y en las unidades vuelvo a repetir el "0". Mi tercer número es el 10.
El cuarto número será el 11.
Me vuelvo a quedar sin números. Necesito usar un tercer lugar ,"centenas", pongo allí el "1" y relleno con "00". Tengo el 100.
Y empiezo otra vez... 100, 101, 110, 111.
Y otro lugar...: 1000, 1001, 1010, 1100, 1101, 1110, 1111
Intuitivamente me voy dando cuenta que estos números binarios puedo relacionarlos con otros números decimales. Como he ido contando de uno en uno, puedo darme cuenta que:
Sistema decimal
Sistema binario
0
0
1
1
2
10
3
11
4
100
5
101
6
110
7
111
De hecho, he de darme cuenta de que la expresión polinómica anterior es válida para cualquier sistema de numeración. Por ejemplo, el número 101 en binario, o en base 2, puede convertirse a decimal de la siguiente forma:
Recordar que los exponentes indican el lugar, la base indica el sistema de numeración (0 y 1, dos números, base 2).
Dato importante: ¿Cuántos números podré representar con 3 lugares? ¿Cuál es el último?
Tengo 3 lugares, luego puedo representar 23 = 8 números.
El último número es el 7 (empieza por cero), luego es 23 - 1 = 7
En general, la fórmula para la cantidad de números a representar con n lugares es: 2n. Si tengo n lugares, el último número es el 2n-1.
Como vimos antes, en un circuito digital, pueden representarse dos estados "0" y "1". Estos dos estados corresponden a cada símbolo de un sistema binario (a un bit), con lo cual, los circuitos digitales serán capaces de contar y calcular en binario.
Importante: cuando represento un número en base binaria, tengo dos posibilidades: usar un 0 o un 1. Cada dígito se puede denominar bit. Bit significa BInary digiT. También se denomina bit a la cantidad mínima de información en un sistema digital.
El bit del último lugar, el de exponente n-1, es el bit más significativo. El bit del primer lugar, el del exponente 0, es el menos significativo.
Cuestión: ¿cuál es la cantidad de números a representar con n=8? ¿Y con n=32, n=34? En cada caso, ¿hasta qué número llega? Ejercicio: pasar a decimal los números 11001, 11010, 01101, 100100110 en base 2. Ejercicio: construir una tabla con los primeros 32 números binarios.
Fórmula general para representar un número natural, sin decimales.
Sea b la base, n el último lugar ocupado, el más significativo. V su valor decimal.
Si es un número con decimales, fraccionario, con exponente menos significativo m<0 :
Donde b es la base del sistema
ai son los dígitos propios del sistema de numeración
i representa la posición del símbolo respecto de la coma decimal.
Sistema octal
El sistema octal se basa en 8 números (base 8). Los símbolos son el 0,1,2,3,4,5,6 y 7. Ejercicio: pasar a decimal los números 5562, 4162, 7777, 2017 en base 8 Cuestión: ¿cuál es la cantidad de números a representar con n=2? ¿Y con n=11, n=15? En cada caso, ¿hasta qué número llega?
Sistema hexadecimal
El sistema hexadecimal se basa en 16 números (base 16) cuyos símbolos son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Ejercicio: pasar a decimal los números A1, 17, BF0C, 221F en base 16 Cuestión: ¿cuál es la cantidad de números a representar con n=2? ¿Y con n=8, n=16? En cada caso, ¿hasta qué número llega?
Sistemas de numeración
Volver a electrónica digital
Sistema de numeración decimal
De forma totalmente natural, desde pequeños, nos enseñan a contar las cosas con los dedos, usando números (símbolos) del 0 al 9. Este sistema de numeración es el denominado decimal. Repasemos un poco como funciona.
¿Pero cómo puedo expresar mejor esta forma de representar números? Bien, en general, cualquier número decimal se puede representar como un polinomio. Sea N un número natural, por ejemplo, 356. El sistema es el decimal, se dice de base 10 (b=10) y el lugar de las unidades corresponde al primer lugar (cuento 0), las decenas el segundo (cuento 1), las centenas el tercero (2), etc.
En el primer ejemplo, cualquier número en decimal, es capaz de representarse como expresión polinómica en base diez, siendo cada dígito un factor que multiplica a la potencia correspondiente. Incluso con potencias de exponente negativo, se pueden representar todos los números decimales.
Sistema de numeración binaria
Hay otras formas de contar. Imaginemos que sólo tenemos dos números, el 0 y el 1. ¿Qué pasaría?
Intuitivamente me voy dando cuenta que estos números binarios puedo relacionarlos con otros números decimales. Como he ido contando de uno en uno, puedo darme cuenta que:
Recordar que los exponentes indican el lugar, la base indica el sistema de numeración (0 y 1, dos números, base 2).
Dato importante: ¿Cuántos números podré representar con 3 lugares? ¿Cuál es el último?
En general, la fórmula para la cantidad de números a representar con n lugares es: 2n. Si tengo n lugares, el último número es el 2n-1.
Como vimos antes, en un circuito digital, pueden representarse dos estados "0" y "1". Estos dos estados corresponden a cada símbolo de un sistema binario (a un bit), con lo cual, los circuitos digitales serán capaces de contar y calcular en binario.
Importante: cuando represento un número en base binaria, tengo dos posibilidades: usar un 0 o un 1. Cada dígito se puede denominar bit. Bit significa BInary digiT. También se denomina bit a la cantidad mínima de información en un sistema digital.
El bit del último lugar, el de exponente n-1, es el bit más significativo. El bit del primer lugar, el del exponente 0, es el menos significativo.
Cuestión: ¿cuál es la cantidad de números a representar con n=8? ¿Y con n=32, n=34? En cada caso, ¿hasta qué número llega?
Ejercicio: pasar a decimal los números 11001, 11010, 01101, 100100110 en base 2.
Ejercicio: construir una tabla con los primeros 32 números binarios.
Fórmula general para representar un número natural, sin decimales.
Sea b la base, n el último lugar ocupado, el más significativo. V su valor decimal.Si es un número con decimales, fraccionario, con exponente menos significativo m<0 :
Sistema octal
El sistema octal se basa en 8 números (base 8). Los símbolos son el 0,1,2,3,4,5,6 y 7.Ejercicio: pasar a decimal los números 5562, 4162, 7777, 2017 en base 8
Cuestión: ¿cuál es la cantidad de números a representar con n=2? ¿Y con n=11, n=15? En cada caso, ¿hasta qué número llega?
Sistema hexadecimal
El sistema hexadecimal se basa en 16 números (base 16) cuyos símbolos son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.Ejercicio: pasar a decimal los números A1, 17, BF0C, 221F en base 16
Cuestión: ¿cuál es la cantidad de números a representar con n=2? ¿Y con n=8, n=16? En cada caso, ¿hasta qué número llega?